From [Poté ?]   2 octobre 1819

Agréez mes remerciements de la lettre que vous m'avez fait l'honneur de m'écrire et des observations judicieuses qu'elle renferme.

La démonstration du lemme est générale et s'étend au cas le plus défavorable qui est celui où l'oblique ferait un angle aigu qui différât le moins possible d'un angle droit, et par conséquent à un angle obtus qui serait dans le même cas. Il est donc démontré qu'il existe, dans tous les cas possibles, une distance assez petite pour que l'oblique et la perpendiculaire se rencontrent. Est-il donc nécessaire, pour la validité de la démonstration, de déterminer cette distance ? Ne suffit-il pas que l'existence en soit démontrée ; car on peut prendre sur une droite une distance aussi petite que l'on veut. Au lieu de dire, comme dans le corollaire, "on peut toujours déterminer une distance assez petite &c., je dirai : je demande qu'il me soit permis d'imaginer sur l'une des parallèles une distance assez petite pour que l'oblique et la perpendiculaire se rencontrent dans le cas même où la première ferait un angle oblique approchant d'un angle droit autant que possible ; il me semble que cette demande ne peut être refusée, puisqu'elle ne renferme rien que de réel ou de possible.

[55] [diag] Soit donc EB cette petite distance ; si du point E, je mène EH perpendiculaire sur CD, elle le sera aussi sur la parallèle AB ; car si elle faisait un angle oblique sur AB, cet angle différât-il d'un angle droit le moins possible, il est clair que EH rencontrerait BD perpendiculaire aux deux parallèles, à cause de la petitesse de la distance EB.

Si ma demande doit être rejetée, il me faudra renoncer à cette théorie et dormir avec mon ignorance ; c'est un oreiller sur lequel on repose volontiers la tête à mon âge.

Pardonnez-moi, Monsieur, de vous rappeler la promesse que vous avez bien voulu me faire pour mon neveu ; il a accompli sa vingtième année, il est de bonnes mœurs ; il sait les mathématiques, du latin et un peu de grec.

Je suis très respectueusement, Monsieur, votre très humble et très obéissant serviteur. Poté