To Jean-Baptiste?] [Delambre   1er novembre 1814

D'après le désir que vous m'avez témoigné de connaître la marche que j'ai suivie et les principaux résultats auxquels je suis parvenu dans les trois mémoires que j'ai lu cette année à l'Institut sur les équations aux différentielles partielles, je vais essayer de vous en donner une idée bien imparfaite sans doute puisque pour la rendre à peu près complète il faudrait entrer dans des détails que ne comportent pas les bornes d'une lettre.

Dans mon premier mémoire, j'ai établi et démontré généralement un ensemble de principes sur l'intégration de ces équations dont la plus grande partie me semble une chose absolument nouvelle. Je vais tâcher d'en tracer une légère esquisse. Je suis parti de cette idée que lorsqu'une équation primitive satisfait à une équation différentielle, elle n'en n'est l'intégrale générale qu'autant qu'on en déduit seulement entre les[34] dérivées ou coefficients différentiels de la fonction qu'elle détermine, la relation exprimée par l'équation donnée, et les relations que représentent ses différentielles ultérieures, sans qu'il en résulte entre les mêmes dérivées aucune autre relation.Il est évident en effet que dans le cas où une équation primitive donne entre les coefficients différentiels d'autres relations que l'équation donnée, et les équations qu'on en tire en la différenciant, cette équation primitive n'exprime que les cas particuliers de l'équation donnée où ces autres relations ont lieu.

Elle n'en est alors qu'une intégrale particulière, ou une solution particulière. Pour montrer l'usage de ce principe, je l'ai d'abord appliqué aux équations aux différentielles ordinaires. Le résultat de cette application est que leurs intégrales ne peuvent être générales qu'autant qu'elles contiennent autant de constantes arbitraires qu'il y a d'unités dans l'ordre de l'équation donnée.[35] Ce théorème dont les démonstrations connues me semblent indirectes se trouve ainsi démontré de la manière la plus simple et qui suit le plus directement du but qu'on se propose en intégrant.

J'applique ensuite le même principe aux équations aux différentielles partielles. Il s'en suit d'abord que des constantes arbitraires ne suffisent jamais. Pour en rendre les intégrales générales et ensuite que quand les fonctions arbitraires n'entrent dans l'intégrale qu'avec des fonctions qui en dérivent par voie de différentiation ou d'intégration relative à tout ce qui est sous le signe , cette intégrale ne peut être générale qu'autant qu'il y a autant de fonctions arbitraires que d'unités dans l'ordre de l'équation donnée. Mais que précisément pour la même raison qui en rend ce nombre nécessaire dans le cas dont je viens de parler, il cessait de l'être quand les fonctions se trouvent sous des signes d'intégration partielle, c'est-à-dire qui doivent être prises en regardant comme constantes des quantités réellement variables d'après la nature de la question. Par là j'ai fait disparaître ce qu'a de paradoxal la démonstration irréfragable qu'a donné M. Poisson de la généralité complète d'une intégrale de l'équation[36] $\frac{d^{2}z}{{dx}^2}=\frac{dz}{dy}$ où conduisent les recherches sur la chaleur, &c. quoique cette intégrale ne contienne qu'une fonction arbitraire. Je montre comment cette restriction à un principe que l'analogie avait fait regarder comme général, dépend de ce que cette fonction arbitraire est sous un signe d'intégration partielle définie.

Ces diverses démonstrations montrent que les principes de la généralité des intégrales est dans l'examen du nombre des quantités arbitraires, soit des constantes soit des fonctions, qu'il faut éliminer entre les différentielles de l'intégrale pour retrouver l'équation donnée. L'intégrale étant nécessairement particulière toutes les fois que le nombre de ces arbitraires à éliminer est insuffisant. La différence entre les fonctions arbitraires qui ne sont point sous des signes d'intégration partielle, et celles qui s'y trouvent, vient de ce que les premières n'introduisent dans le calcul à chaque passage d'un ordre de différentielle à l'ordre suivant, qu'une nouvelle arbitraire et que les secondes en introduisent plusieurs.

[37]Dans le paragraphe destiné à appliquer la même théorie aux équations du second ordre, je me suis borné à examiner celles qui sont de la forme $Hr+2KS+Lt+M+N(rt{s}^2)=0$ où H, K, L, M, N contiennent x, y, z, p, q d'une manière quelconque. Mais avant de la traiter en général, j'ai considéré le cas où il n'y aurait qu'une seule dérivée du second ordre. J'ai montré que dans ce cas on pouvait reconnaître sur le champ si l'équation donnée était susceptible d'une intégrale du premier ordre, ou s'il était impossible qu'elle en eut, et j'ai indiqué des avantages encore plus importants qu'on aurait à pouvoir ramener toutes les équations du second ordre à n'avoir qu'une dérivée de cet ordre, particulièrement pour trouver des intégrales en intégrales définies. J'ai traité généralement des moyens d'opérer cette transformation dans un autre mémoire. Dans le premier j'avais seulement parlé des avantages qu'on en retirerait.

J'ai donc considéré l'équation ci-dessus, et j'ai montré que si représentait une quantité dont une intégrale sous forme finie put renfermer une fonction arbitraire, ou ce que[38] j'ai prouvé être la même chose, une quantité telle qu'en la prenant pour une des variables indépendantes, et pour fonction principale soit l'ancienne fonction principale Z, soit une quantité u donnée en x, y, z, p, q, l'équation transformée du second ordre en u ne contint par $\frac{d^{2}u}{d^2}$ il fallait que l'on eut en regardant comme constant et en faisant pour abréger $K^{2}HL+MN=G$, ces deux équations $N\frac{dq}{dx}+H\frac{dy}{dx}K\sqrt{G}=0$ $H\frac{dp}{dx}+(K\sqrt{G})\frac{dq}{dx}+M=0$auxquelles on doit joindre $\frac{dz}{dx}pq\frac{dy}{dx}+=0$ en prenant alternativement le signe + et le signe de $\sqrt{G}$, on a deux systèmes correspondant aux deux quantités et et dont se composent les deux fonctions arbitraires. Ils se réduisent à un seul quand G, c'est-à-dire$K^{2}HL+MN=0$.

On considère ordinairement ces[39] deux systèmes comme étant aux différentielles ordinaires, étant constant dans le premier et dans le second. J'ai montré qu'on en avait une idée plus juste en les regardant comme aux différentielles partielles, x et étant les deux variables indépendantes dans le premier, et x et dans le second.

Cette considération conduit à plusieurs résultats remarquables dont le plus important est le suivant.

En prenant $+\sqrt{G}$ on a deux équations qui avec $\frac{dz}{dx}pq\frac{dy}{dx}=0$ en font trois relatives aux deux variables indépendantes x et . En prenant $+\sqrt{G}$ on a deux autres où x et sont les deux indépendantes. Mais par les transformations connues, on peut les ramener à x et . On en trouve ainsi cinq où x et sont dans toutes les variables indépendantes, savoir : $\frac{dz}{dx}pq\frac{dy}{dx}=0$, $N\frac{dq}{dx}+H\frac{dy}{dx}K\sqrt{G}=0$, $H\frac{dp}{dx}+(K\sqrt{G})\frac{dq}{dx}+M=0$, $(N\frac{dq}{d}+H\frac{dy}{d})\frac{d}{dx}2\sqrt{G}\frac{d}{d}=0$, [40] $(H\frac{dp}{d}+(K+\sqrt{G}\left)\frac{dq}{d}\right)\frac{d}{dx}2\sqrt{G}\frac{dq}{dx}\frac{d}{d}=0$ et ces cinq équations doivent déterminer y, z, p, q, , en fonction de x et . Cette détermination n'est pas possible en général, mais comme il suffit d'en tirer une relation entre x, y, z, , et , pour arriver à l'intégrale dans un grand nombre de cas, et qu'elles ont encore d'autres usages expliqués dans mon mémoire. On peut les regarder comme un des points importants de la théorie des équations aux différentielles partielles. La lecture du mémoire et les exemples que j'ai intégrés par leur moyen peuvent seuls donner une idée du parti qu'on en peut tirer.

Ces résultats ne fournissant pas encore de méthode générale, j'ai pris une autre route dans deux autres mémoires que j'ai présentés depuis à l'Institut.

Dans l'un, à l'imitation de la transformation qu'a donnée M. Legendre, et où il prend $px+qyz$ pour la fonction principale et[41] conduit par ces considérations [illeg] examiner la manière dont [illeg] nouvelles fonctions arbitraires [illeg] de celles de l'intégrale [illeg] chaque différenciation. J'en [illeg] des théorèmes qui ne l'avaient jamais été. En voici quelques uns des plus remarquables pour le cas où les fonctions arbitraires ne sont pas [illeg] sous des signes d'intégrations partielles et ne sont pas composées d'une seule variable indépendante, comme seraient x ou y.

Je démontre dans ce cas : . que dans le passage d'un ordre de différentielles à l'ordre suivant, une nouvelle arbitraire ne peut paraître dans une dérivée, sans entrer dans les valeurs de toutes les autres dérivées du même ordre. . que dès qu'il en a paru une dans les dérivées d'un certain ordre, il en parait nécessairement une nouvelle dans chacun des ordres suivants. . qu'il n'en peut jamais paraître à chaque passage d'un ordre[42] [illeg] suivant qu'autant que [illeg] contient de fonctions [illeg] indépendantes entre elles. [illeg] seraient probablement [illeg] difficiles à démontrer rigoureusement si l'on conservait x et y pour variables indépendantes. J'ai trouvé le moyen d'en rendre les démonstrations très [simples ]en prenant la quantité dont [se ]compose une des fonctions arbitraires pour variable indépendante. Obligé d'avoir recours aux formules pour changer les variables indépendantes, j'ai donné ces formules sous une nouvelle forme et je les ai démontrées d'une manière plus simple et plus appropriée aux applications que j'avais à en faire.

Je m'en suis servi ensuite pour démontrer que les quantités dont peuvent être composées des fonctions arbitraires, non comprises sous des signes d'intégration partielle, satisfont nécessairement à des équations aux différentielles partielles du premier ordre telles que toute fonction d'une quantité qui y satisfait, y satisfait [illeg]