From Jérémie Abria   5 octobre 1835

A votre passage à Limoges, au mois d'août dernier, vous eûtes la bonté de me communiquer vos recherches sur la division du cercle en 17 parties égales, et vous m'engageâtes à vérifier sur quelques exemples ce théorème auquel le calcul vous conduisait. Tout nombre de la forme $2^n+1$ ne peut être premier que lorsque n est une puissance de 2.

En effectuant cette vérification, je fus conduit à cette prop[ositi]on : tout nombre de la forme $2^{2q(1+2k)}+1$ est divisible par sa valeur pour $k=0$, c'est-à-dire par $2^{2q}+1$. Ce théorème renferme le premier car, tout[2] nombre entier n pouvant être représenté par une expression de la forme $2^q(1+2k$, q, k étant des nombres entiers convenablement choisis, il s'ensuit que tout nombre de la forme $2n+1$ aura au moins un facteur, à moins que n ne soit de la forme 2q , auquel cas $2n+1$ pourra être premier.

La démonstration de ce théorème est extrêmement simple, et si j'avais eu quelques moments de loisir lors de votre séjour ici, je crois pouvoir affirmer que je vous l'aurais communiqué avant votre départ. La voici : [illisible] [3]Je divise  $2^{2q(1+2k)}+1$ par $2^{2q}+1$ le quotient est $2^{2q2k}{2}^{2q(2k1)}+2^{2q(2k2}{2}^{2q}$ ou en posant $2^{2q}=P$ afin de mieux saisir la loi : $2^{2k}{p}^{2k1}+p^{2k2}{p}^{2k3}+p^{2k4}P+1$ qui est la suite des puissances successives et décroissantes de P, depuis 2k jusqu'à zéro, les puissances paires étant affectées du signe +, et les puissances impaires du signe .

Or q, k étant entiers, chacun des termes du quotient est entier : le quotient lui-même est donc aussi un nombre entier.

S'il existait dans ce raisonnement quelque défaut, je vous serais infiniment obligé, si vous daigniez me le faire connaître. Ce me serait pas seulement un honneur pour moi de recevoir vos conseils, Monsieur, mais vous me rendriez encore un véritable service.

Vous m'aviez engagé aussi à chercher [illisible] [4] la valeur de q pour laquelle les nombres que l'on obtient en substituant dans l'expression $2^{2q}+1$, à q les valeurs successives 0, 1, 2, 3,... cessent d'être premiers. J'ai commencé le calcul depuis quelques jours seulement, et dès que je serai parvenu à quelque résultat, je m'empresserai de vous le faire connaître. Si je puis encore faire quelque travail qui vous soit agréable, je m'y livrerai avec grand plaisir.

On a demandé à M. le Ministre de l'Instruction publique les mémoires de l'Institut et le Journal de l'école polytechnique pour la Bibliothèque de la ville. Si l'occasion s'en présente, je vous prierais de vouloir bien lui rappeler combien de pareils ouvrages peuvent être utiles aux jeunes professeurs de province.

J'ai l'honneur d'être avec respect, Monsieur, Votre très humble et obéissant serviteur, Abria ancien élève de l'École normale, D[épartemen]t de physique.